Сенсация вокруг теоремы ферма оказалась недоразумением. Теорема Ферма: история доказательства Эндрю Уайлса Кем был Хенрик Абель

Судя по популярности запроса "теорема Ферма - краткое доказательство", эта математическая проблема действительно многих интересует. Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на краю копии "Арифметики", где он утверждал, что у него было ее решение, оно было слишком велико для того, чтобы поместиться на краю.

Первое успешное доказательство было опубликовано в 1995 году - это было полное доказательство теоремы Ферма, осуществленное Эндрю Уайлсом. Оно было описано как «ошеломляющий прогресс», и привело Уайлса к получению премии Абеля в 2016 году. Будучи описанным относительно кратко, доказательство теоремы Ферма также доказало большую часть теоремы модульности и открыло новые подходы к многочисленным другим проблемам и эффективным методам подъема модульности. Эти свершения продвинули математику на 100 лет вперед. Доказательство малой теоремы Ферма сегодня не является чем-то из ряда вон выходящим.

Неразрешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и поиск доказательства теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики и до полного доказательства великой теоремы Ферма методом деления она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема», одной из особенностей которой является то, что она имеет наибольшее количество неудачных доказательств.

Историческая справка

Пифагорейское уравнение x 2 + y 2 = z 2 имеет бесконечное число положительных целочисленных решений для x, y и z. Эти решения известны как троицы Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на краю книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n является целым числом, большим чем 2. Хотя сам Ферма утверждал, что имеет решение своей задачи, он не оставил никаких подробностей о ее доказательстве. Элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, скорее было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена спустя 30 лет после его смерти. Это уравнение, получившее название «Последняя теорема Ферма», в течение трех с половиной столетий оставалось нерешенным в математике.

Теорема в конечном итоге стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел, и с течением времени последняя теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время, как гипотеза Танияма-Шимура-Вейля и (в конечном счете) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без видимой связи с последней теоремой Ферма. Она сама по себе широко рассматривалась как важная математическая теорема, но при этом считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство великой теоремы Ферма (методом деления и применения сложных математических формул) было осуществлено лишь полвека спустя.

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Полное подтверждение того, что две теоремы были тесно связаны, было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом, который основывался на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилона». Проще говоря, эти работы Фрея, Серра и Рибе показали, что если бы теорема о модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то и доказательство последней теоремы Ферма также рано или поздно будет открыто. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, может также использоваться, чтобы противоречить теореме модульности. Поэтому, если теорема о модульности оказалась истинной, то по определению не может существовать решение, противоречащее последней теореме Ферма, а значит она вскоре должна была быть доказана.

Хотя обе теоремы были сложными проблемами для математики, считающимися нерешаемыми, работа двух японцев стала первым предположением о том, как последняя теорема Ферма могла бы быть продолжена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой было разработано доказательство, а не только исторической странностью, поэтому время, затраченное на ее работу, могло быть оправдано с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось нецелесообразным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из людей, анализировавших первоначальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своего обзора он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что его работа явно содержит пробел. В одной критической части доказательства была допущена ошибка, которая давала оценку для порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флача, была неполной. Ошибка, однако, не сделала его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значительной и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы и которые затрагивали лишь одну часть рукописи. Тем не менее в этой первоначальной работе, опубликованной в 1993 году, действительно не было доказательства великой теоремы Ферма.

Уайлс провел почти год, пытаясь заново найти решение теоремы - сперва в одиночку, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, было тщетным. К концу 1993 года распространились слухи, что при проверке доказательство Уайльса потерпело неудачу, но насколько серьезной была эта неудача, известно не было. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали своей работы, независимо от того, была она выполнена или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать все, чего ему удалось добиться. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс лишь обнаружил дополнительные сложные аспекты в доказательстве великой теоремы Ферма, и наконец-то осознал, насколько сложной она является.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы бросить все и сдаться, и почти смирился с тем, что потерпел неудачу. Он готов был опубликовать свою неоконченную работу, чтобы другие могли на ней основываться и найти, в чем он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, по которым его подход не работал, как вдруг внезапно осознал, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не подключит к процессу доказательства еще и теорию Ивасавы, заставив ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фалтинса) рассмотреть его новую работу, а 24 октября 1994 г. он представил две рукописи - «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых Гекке-алгебр», вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в качестве полнотекстового издания в журнале «Анналы математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и научное сообщество в конце концов их признало. В этих работах была установлена теорема модульности для полустабильных эллиптических кривых - последний шаг к доказательству великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была создана.

История великой проблемы

Решение этой теоремы считалось самой большой проблемой в математике на протяжении многих столетий. В 1816 и в 1850 годах Французская академия наук предложила приз за общее доказательство великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за исследования идеальных чисел, хотя он и не подавал заявку на приз. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок (большую сумму для того времени) Академии наук Геттингена, чтобы эти деньги стали призом за полное доказательство великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, эти правила требовали опубликования доказательства в рецензируемом журнале. Приз должен был присуждаться лишь через два года после публикации. Срок конкурса должен был истечь 13 сентября 2007 - примерно через столетие после своего начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовые деньги Вольфсхеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках премии Абеля за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающей новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

До доказательства Уайлса теорема Ферма, как уже говорилось ранее, считалась абсолютно нерешаемой на протяжении целых столетий. Тысячи неверных доказательств в разное время были представлены комитету Вольфскеля, составив примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только в первый год существования премии (1907-1908) было подано 621 заявок с претензией на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их количество уменьшилось примерно до 3-4 заявок в месяц. По мнению Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, большинство доказательств были основаны на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Эйвса, последняя теорема Ферма установила своеобразный рекорд - это теорема, набравшая наибольшее количество неверных доказательств.

Лавры Ферма достались японцам

Как уже говорилось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма открыли возможную связь между двумя, по-видимому, совершенно разными отраслями математики - эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная в результате их исследований теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) гласит, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой.

Теория первоначально была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Langlands, представляющей собой список важных гипотез, требующих доказательства в будущем.

Даже после серьезного внимания, гипотеза была признана современными математиками как чрезвычайно трудная или, возможно, недоступная для доказательства. Теперь именно эта теорема ждет своего Эндрю Уайлса, который смог бы удивить весь мир ее решением.

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Не смотря на расхожий миф, российский математик Григорий Перельман, при всей своей гениальности, не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Что, впрочем, никак не умаляет его многочисленных заслуг перед научным сообществом.

Передали сенсационное сообщение о том, что омский ученый Александр Ильин нашел простое доказательство Великой теоремы Ферма . Новость об этом даже попала на телевидение. Однако профессиональный анализ доказательства выявил в нем грубую ошибку.

Теорему сформулировал знаменитый математик XVII века Пьер Ферма . Она состоит в том, что уравнение

x n + y n = z n

Не имеет решений в целых числах при n > 2. На полях книги Ферма оставил пометку, что будто бы нашел удивительно изящное доказательство этой теоремы. Однако более трех веков никому не удавалось отыскать это доказательство. Только в 1994 году Великую теорему доказал английский математик Эндрю Уайлс (Andrew Wiles), причем доказательство заняло более сотни страниц математических выкладок.

В доказательстве Уайлса использован математический аппарат, разработанный только в XX веке. Поэтому многие любители математики продолжают средствами элементарной школьной математики искать легендарное простое доказательство. С завидной регулярностью такие доказательства поступают в адрес самых разных научных организаций. Порой авторы этих опусов незнакомы даже с азами математической культуры и смешивают математические выкладки с пространными философскими рассуждениями. Специалисты в шутку называют таких горе-математиков «ферматиками». Есть даже стихотворение , посвященное попыткам доказательства Великой теоремы Ферма.

Чем же отличается нынешний случай от всех предыдущих? Тем, что на этот раз элементарное доказательство теоремы Ферма обнародовал крупный ученый академик Ильин, бывший главный конструктор аэрокосмического объединения «Полет». Как сообщают СМИ, его доказательство проверили несколько знакомых ученых, в частности, академик Леонид Горынин и профессор Сергей Чуканов*), и дали заключение о том, что не нашли в аргументации Ильина изъянов. И хотя ни автор, ни рецензенты не являются специалистами в теории чисел, статус позволил академику Ильину созвать пресс-конференции в Омске и в Москве, где он и представил свое доказательство журналистам.

22 августа сенсационное доказательство было опубликовано в «Новой газете». Сообщалось о нем и по телевидению. Некоторые СМИ (та же «Новая газета») сообщали о доказательстве как о непреложном факте. Другие, например аналитическое агентство «Главред» , высказывались с некоторой осторожностью. Однако только радио «Свобода» обратилось к специалистам-математикам из Московского центра непрерывного математического образования с просьбой изучить опубликованное решение теоремы Ферма. Вот цитата из полученного ответа:

«Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника z 2 = x 2 + y 2 — 2xy ·cos(b ). Рассмотрим выражение. При 60° b b) — число не целое. А значит, и z неминуемо является таковым при целых значениях x и y ».

Однако из того, что cos(b ) нецелое, совсем не следует, что таковым является произведение 2xy ·cos(b ). Скажем, при b = arccos(1/4) (что примерно равно 75 градусам, т. е. попадает в требуемый промежуток от 60 до 90 градусов) cos(b ) = 1/4, и если хотя бы одно из чисел x и y четное, то 2xy ·cos(b ) будет целым.

Будучи обнаружена, данная ошибка становится вполне очевидной на уровне школьного курса математики. По мнению профессиональных математиков, этот случай может служить наглядной иллюстрацией того, что сенсационные открытия, публикуемые в обход принятой в науке системы обязательного рецензирования, чаще всего оказываются недоразумениями.

*) Утром 26 августа в адрес редакции поступило письмо от проф. Сергея Николаевича Чуканова с просьбой опубликовать его на сайте. Редакция с готовностью выполняет эту просьбу.

Глубокоуважаемая редакция проекта «Элементы»!

Считаю необходимым прокомментировать сообщение Александра Сергеева «Сенсация вокруг теоремы Ферма оказалась недоразумением» от 25.08.2005 на Вашем сайте: «Как сообщают СМИ, его доказательство проверили несколько знакомых ученых: и профессор Сергей Чуканов, и дали заключение о том, что не нашли в аргументации Ильина изъянов». Это недоразумение усугубляется тем, что впервые я ознакомился с «доказательством» по статье Анны Мелеховой на сайте «Агентстве национальных новостей» .

В статье «доказательство» построено на положении: «так как cos a на интервале (11) принимает только иррациональные значения», что указывает на отсутствие элементарных математических знаний у автора этого «доказательства». Опубликованных в рецензируемых изданиях доказательств Александром Ильиным теоремы Ферма (Fermat"s Last Theorem) мной не обнаружено.

С уважением,
Сергей Николаевич Чуканов

Мы выражаем сожаление, что репутация проф. Чуканова могла пострадать из-за некорректных публикаций СМИ, и разделяем его недоумение.

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма". Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Удивительно, что про это событие толком не знают не только наши обычные российские обыватели, но и многие интересующиеся наукой люди, включая даже немалое число ученых в России, так или иначе использующих математику. Это показывают не прекращающиеся «сенсационные» сообщения об «элементарных доказательствах» теоремы Ферма в российских популярных газетах и по телевидению. Очередные доказательства освещались с такой информационной силой, как будто не существовало прошедшее самую авторитетную экспертизу и получившее широчайшую известность во всем мире доказательство Уайлса. Реакция российского математического сообщества на эти первополосные новости в ситуации давно полученного строгого доказательства оказалась поразительно вялой. Наша цель состоит в том, чтобы дать набросок захватывающей и драматичной истории доказательства Уайлса в контексте феерической истории самой великой теоремы Ферма и немного поговорить о самом ее доказательстве. Здесь нам прежде всего интересен вопрос о возможности доступного изложения доказательства Уайлса, про которое, конечно, большинство математиков в мире знает, но говорить про понимание этого доказательства могут лишь очень и очень немногие из них.

Итак, вспомним знаменитую теорему Ферма. Большинство из нас так или иначе слышали о ней еще со школьной поры. Эта теорема связана с весьма знаменательным уравнением. Это, пожалуй, самое простое осмысленное уравнение, какое только можно написать, используя три неизвестных и еще один строго положительный целочисленный параметр . Вот оно:

Великая теорема Ферма утверждает, что при значениях параметра (степени уравнения), превышающих двойку, целочисленных решений данного уравнения не существует (кроме, конечно, решения, когда все эти переменные равны нулю одновременно).

Притягательная сила этой теоремы Ферма для широкой публики очевидна: нет другого математического утверждения, обладающего такой простотой формулировки, кажущейся доступностью доказательства, а также привлекательностью его «статусности» в глазах общества.

До Уайлса дополнительным стимулом для ферматистов (так назвали людей, маниакально атаковавших проблему Ферма) являлся учрежденный почти сто лет назад приз немца Вольфскеля за доказательство, правда небольшой по сравнению с Нобелевской премией - он успел обесцениться во время первой мировой войны.

Кроме того, всегда привлекала вероятная элементарность доказательства, так как сам Ферма «ее доказал», написав на полях перевода «Арифметики» Диофанта: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его».

Вот почему здесь уместно привести оценку актуальности популяризации доказательства Уайлса проблемы Ферма, принадлежащую известному американскому математику Рему Мерти (R. Murty) (цитируем по выходящему скоро переводу книги Ю. Манина и А. Панчишкина «Введение в современную теорию чисел»):

«Большая теорема Ферма занимает особое место в истории цивилизации. Своей внешней простотой она всегда притягивала к себе как любителей, так и профессионалов… Все выглядит так, как если бы было задумано неким высшим разумом, который в течение веков развивал различные направления мысли лишь затем, чтобы потом воссоединить их в один захватывающий сплав для решения Большой теоремы Ферма. Ни один человек не может претендовать на то, чтобы быть экспертом во всех идеях, использованных в этом «чудесном» доказательстве. В эпоху всеобщей специализации, когда каждый из нас знает «все больше и больше о все меньшем и меньшем», совершенно необходимо иметь обзор этого шедевра…»

Начнем с краткого исторического экскурса, в основном навеянного увлекательной книгой Саймона Сингха «Великая теорема Ферма». Вокруг манящей своей кажущейся простотой коварной теоремы всегда кипели нешуточные страсти. История ее доказательства – сплошные драмы, мистика и даже непосредственные жертвы. Пожалуй, самая знаковая жертва – Ютака Танияма (1927-1958). Именно этот молодой талантливый японский математик, отличавшийся в жизни большой экстравагантностью, создал в 1955 году основу для атаки Уайлса. На основе его идей Горо Шимура и Андре Вейль несколькими годами позже (60-67 годы) окончательно сформулировали знаменитую гипотезу, доказав значительную часть которой, Уайлс получил теорему Ферма как следствие. Мистика истории смерти нетривиального Ютаки связана с его бурным темпераментом: он повесился в возрасте тридцати одного года на почве несчастной любви.

Вся длинная история загадочной теоремы сопровождалась постоянными объявлениями о ее доказательстве, начиная с самого Ферма. Постоянно находящиеся ошибки в нескончаемом потоке доказательств постигали не только математиков-любителей, но и математиков-профессионалов. Это привело к тому, что термин «ферматист», применяемый к доказывающим теорему Ферма, стал нарицательным. Постоянно сохраняющаяся интрига с ее доказательством приводила иной раз к забавным казусам. Так, когда в первом варианте уже широко разрекламированного доказательства Уайлса обнаружился пробел, на одной из станций нью-йоркского метро появилась ехидная надпись: «я нашел поистине чудесное доказательство Великой теоремы Ферма, но пришел мой поезд и я не успеваю его записать».

Эндрю Уайлс (Andrew Wiles), родился в Англии в 1953 году, учился на математическом факультете в Кембридже; в аспирантуре был у профессора Джона Коутса. Под его руководством Эндрю постигал теорию японского математика Ивасавы, находящуюся на границе классической теории чисел и современной алгебраической геометрии. Такой сплав с виду далеких друг от друга математических дисциплин получил название арифметической алгебраической геометрии. Эндрю бросил вызов проблеме Ферма, опираясь именно на эту сложную даже для многих профессиональных математиков синтетическую теорию,.

После окончания аспирантуры Уайлс получил позицию в Принстонском университете, где работает и сейчас. Он женат и имеет троих дочерей, двое из которых родились «в семилетнем процессе первого варианта доказательства». В эти годы только Нада, жена Эндрю, знала о том, что он штурмует в одиночку самую неприступную и самую знаменитую вершину математики. Именно им, Наде, Клэр, Кэйт и Оливии посвящена знаменитая финальная статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» в центральном математическом журнале «Annals of Mathematics», где публикуются наиболее важные математические работы.

Сами же события вокруг доказательства разворачивались довольно драматично. Этот захватывающий сценарий можно было бы назвать «ферматист – математик-профессионал».

Действительно, Эндрю мечтал доказать теорему Ферма уже с юношеских лет. Но ему, в отличие от подавляющего большинства ферматистов, было ясно, что для этого нужно осваивать целые пласты самой сложной математики. Двигаясь к своей цели, Эндрю заканчивает математический факультет знаменитого Кембриджского университета и начинает специализироваться в современной теории чисел, находящейся на стыке с алгебраической геометрией.

Идея штурма сияющей вершины достаточно проста и фундаментальна - максимально хорошая аммуниция и тщательная разработка маршрута.

В качестве мощного инструмента достижения цели выбирается развиваемая самим же Уайлсом уже знакомая ему теория Ивасавы, имеющая глубокие исторические корни. Эта теория обобщала теорию Куммера – исторически первую серъезную математическую теорию по штурму проблемы Ферма, появившуюся еще в 19-м веке. В свою очередь, корни теории Куммера лежат в знаменитой теории легендарного и гениального романтика-революционера Эвариста Галуа, погибшего в возрасте двадцати одного года на дуэли в защиту чести девушки (обратите внимание, вспомнив историю с Таниямой, на роковую роль прекрасных дам в истории математики).

Уайлс полностью погружается в доказательство, прекращая даже участие в научных конференциях. И в результате семилетнего отшельничества от математического сообщества в Принстоне, в мае 1993 года Эндрю ставит точку в своем тексте - дело сделано.

Именно в это время подворачивается прекрасный повод оповестить научный мир о своем открытии – уже в июне должна была состояться конференция в родном Кембридже именно по нужной тематике. Три лекции в Кембриджском институте Исаака Ньютона будоражат не только математический мир, но и широкую общественность. В конце третьей лекции, 23-го июня 1993-го года, Уайлс объявляет о доказательстве великой теоремы Ферма. Доказательство насыщено целым букетом новых идей, таких как новый подход к гипотезе Таниямы-Шимуры-Вейля, далеко продвинутая теория Ивасавы, новая «теория контроля деформаций» представлений Галуа. Математическое сообщество с огромным нетерпением ждет проверки текста доказательства экспертами по арифметической алгебраической геометрии.

Вот здесь-то и наступает тот самый драматический поворот. Сам Уайлс в процессе общения с рецензентами обнаруживает у себя пробел в доказательстве. Трещину дал изобретенный им же самим механизм «контроля деформаций» - несущая конструкция доказательства.

Пробел обнаруживается пару месяцев спустя в результате «построчечного» объяснения Уайлсом своего доказательства коллеге по кафедре в Принстоне Нику Кацу. Ник Кац, находясь уже давно в дружеских отношениях с Эндрю, рекомендует ему сотрудничество с молодым перспективным английским математиком Ричардом Тейлором.

Проходит еще один год напряженной работы, связанный с изучением дополнительного орудия атаки на неподдающуюся проблему - так называемых эйлеровских систем, независимо открытых в 80-е годы нашим соотечественником Виктором Колывагиным (уже давно работающим в университете Нью-Йорка) и Тэйном.

И вот новое испытание. Не доведенный до конца, но все же очень впечатляющий результат работы Уайлса, докладывается им международном конгрессе математиков в Цюрихе в конце августа 1994 года. Уайлс борется изо всех сил. Буквально перед докладом, по словам очевидцев, он еще что-то лихорадочно пишет, пытаясь максимальной улучшить ситуацию с «провисшим» доказательством.

После этого интригующего аудиторию крупнейших математиков мира доклада Уайлса математическое сообщество «радостно выдыхает» и сочувственно аплодирует: ничего, парень, с кем ни бывает, но ведь зато продвинул науку, показав, что и в решении такой неприступной гипотезы можно успешно продвигаться, чего ранее никто даже не помышлял делать. Очередной ферматист Эндрю Уайлс не смог отнять сокровенную мечту многих математиков о доказательстве теоремы Ферма.

Естественно представить состояние Уайлса в то время. Даже поддержка и доброжелательное отношение коллег по цеху не могли компенсировать его состояние психологического опустошения.

И вот, всего через месяц, когда, как пишет Уайлс во введении к своей итоговой статье в «Annals» с окончательным доказательством, «я решил бросить последний взляд на эйлеровы системы в попытке реанимировать этот аргумент для доказательства», это случилось. Вспышка озарения настигла Уайлса 19-го сентября 1994 г. Именно в этот день пробел в доказательстве удалось закрыть.

Далее дела пошли в стремительном темпе. Уже налаженное сотрудничество с Ричардом Тейлором при изучении эйлеровых систем Колывагина и Тэйна позволило окончательно оформить доказательство в виде двух больших статей уже в октябре.

Их публикация, занявшая на весь номер «Annals of Mathematics», последовала уже в ноябре 1994. Все это вызвало новый мощный информационный всплеск. История доказательства Уайлса получила в США восторженную прессу, был снят фильм и выпущены книги об авторе фантастического прорыва в математике. В одной из оценок своего собственного труда Уайлс отметил, что он изобрел математику будущего.

(Интересно, так ли это? Заметим лишь, что со всем этим информационным шквалом резко контрастировал практически нулевой информационный резонанс в России, продолжающийся до сих пор).

Зададимся вопросом – какова «внутренняя кухня» получения выдающихся результатов? Ведь интересно знать, как ученый организует свою работу, на что в ней ориентируется, как определяет приоритеты своей деятельности. Что можно сказать в этом смысле про Эндрю Уайлса? И неожиданно оказывается, что в современную эпоху активных научных коммуникаций и коллективного стиля работы у Уайлса был свой взгляд на стиль работы над суперпроблемами.

Уайлс шел к своему фантастическому результату на основе интенсивной непрерывной многолетней индивидуальной работы. Организация его деятельности, говоря казенным языком, носила экстремально внеплановый характер. Это категорически нельзя было назвать деятельностью в рамках определенного гранта, по которой необходимо регулярно отчитываться и опять всякий раз планировать получение определенных результатов к определенному сроку.

Такая деятельность вне общества, не использующая непосредственное научное общение с коллегами даже на конференциях, казалась противоречащей всем канонам работы современного ученого.

Но именно индивидуальная работа, позволяла выходить за рамки уже сложившихся стандартных понятий и методов. Такой стиль работы, замкнутый по форме и одновременно свободный по сути, позволял изобретать новые мощные методы иполучать результаты нового уровня.

Стоявшая перед Уайлсом проблема (гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля) не находилась в те годы в числе даже ближайших вершин, которые могут быть покорены современной математикой. При этом никто из специалистов не отрицал ее огромного значения, и номинально она была в «мэйнстриме» современной математики.

Таким образом, деятельность Уайлса носила ярко выраженный внесистемный характер и результат был достигнут благодаря сильнейшей мотивации, таланту, творческой свободе, воле, более чем благоприятным материальным условиям для работы в Принстоне и, что крайне важно, взаимопониманию в семье.

Доказательство Уайлса, появившееся как гром среди ясного неба, стало своеобразным тестом для международного математического сообщества. Реакция даже самой прогрессивной части этого сообщества в целом оказалась, как ни странно, довольно нейтральной. После того как улеглись эмоции и восторги первого времени после появления знакового доказательства все спокойно продолжили свои дела. Специалисты по арифметической алгебраической геометрии потихоньку изучали «могучее доказательство» в своем узком кругу, остальные же бороздили свои математические тропы, расходясь, как и ранее, все дальше друг от друга.

Попробуем понять эту ситуацию, у которой есть как объективные, так и субъективные причины. Объективные факторы невосприятия, как ни странно, имеют корни в организационной структуре современной научной деятельности. Эта деятельность подобна катку, спускающемуся по наклонной вниз дороге и обладающему колоссальной инерцией: своя школа, свои сложившиеся приоритеты, свои источники финансирования, и.т.д. Все это хорошо с точки зрения налаженной системы отчетности перед грантодателем, но мешает поднять голову и оглядеться по сторонам: а что собственно действительно является важным и актуальным для науки и общества, а не для очередной порции гранта?

Потом - опять же - не хочется вылезать из своей уютной норки, где все так знакомо, и залезать в другую, совсем незнакомую нору. Неизвестно, чего там ждать. Тем более, заведомо ясно - за вторжение денег там не дают.

Вполне естественно, что ни одна из бюрократических структур, организующих науку в разных странах, включая и Россию, так и не сделала выводов не только из феномена доказательства Эндрю Уайлса, но и похожего феномена нашумевшего доказательства Григория Перельмана другой, тоже знаменитой математической проблемы.

Субъективные факторы нейтральности реакции математического мира на «событие тысячелетия» лежат во вполне прозаичных причинах. Доказательство действительно необычайно сложное и длинное. Для неспециалиста в арифметической алгебраической геометрии оно кажется состоящим из наслоения терминологии и конструкций наиболее абстрактных математических дисциплин. Кажется, что автор и вовсе не ставил цель, чтобы его поняли как можно большее число интересующихся математиков.

Эта методологическая сложность, к сожалению, присутствует как неизбежная издержка великих доказательств последнего времени (например, разбор недавнего доказательства Григория Перельмана гипотезы Пуанкаре продолжается по сей день).

Сложность восприятия усиливается еще и тем, что арифметическая алгебраическая геометрия - весьма экзотическая подобласть математики, вызывающая трудности даже у профессиональных математиков. Дело усугублялось также и необычайной синтетичностью доказательства Уайлса, использовавшего разнообразные современные инструменты, созданные большим числом математиков в самые последние годы.

Но надо учесть, что перед Уайлсом и не стояла методическая задача объяснения – он конструировал новый метод. В методе работал именно синтез собственных гениальных идей Уайлса и конгломерата новейших результатов из различных математических направлений. И именно такая мощная конструкция протаранила неприступную проблему. Доказательство не стало случайностью. Факт его кристаллизации полностью соответствовал как логике развития науки, так и логике познания. Задача разъяснения такого супердоказательства представляется абсолютно самостоятельной, весьма непростой, хотя и очень перспективной проблемой.

Можете сами прощупать общественное мнение. Попробуйте задать вопросы знакомым математикам по поводу доказательства Уайлса: кто понял? Кто понял хотя бы основные идеи? Кто захотел понять? Кто почувствовал, что это новая математика? Ответы на эти вопросы представляются риторическими. И вряд ли вы встретите много желающих прорвать частокол специальных терминов и освоить новые понятия и методы для того, чтобы решить всего одно весьма экзотическое уравнение. И почему ради именно этой задачи надо все это изучать?!

Приведу такой забавный пример. Пару лет назад знаменитый французский математик, филдсовский лауреат, Пьер Делинь, крупнейший специалист в алгебраической геометрии и теории чисел, на вопрос автора о смысле одного из ключевых объектов доказательства Уайлса – так называемого «кольца деформаций» - после получасового раздумья сказал, что не до конца понимает смысл этого объекта. С момента доказательства к этому моменту прошло уже десять лет.

Теперь можно воспроизвести реакцию российских математиков. Основная реакция – ее практически полное отсутствие. В основном это вызвано «тяжелой» и «непривычной» математикой Уайлса.

Например, в классической теории чисел вы не встретите таких длинных доказательств как у Уайлса. Как выражаются специалисты по теории чисел, «доказательство должно быть на страничку» (доказательство Уайлса в сотрудничестве с Тейлором в журнальном варианте занимает 120 страниц).

Также нельзя исключать фактора опасения за непрофессионализм своей оценки: реагируя, берешь на себя ответственность за оценки доказательства. А как это делать, когда не знаешь этой математики?

Характерной является позиция занятая непосредственными специалистами по теории чисел: «… и трепет, и жгучий интерес, и осторожность перед лицом одной из величайших загадок в истории математики» (из предисловия к книге Пауло Рибенбойма «Последняя теорема Ферма для любителей» - единственному доступному на сегодняшний день источнику непосредственно по доказательству Уайлса для широкого читателя.

Реакция одного из самых известных современных российских математиков академика В.И. Арнольда на доказательство «активно скептична»: это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой. Более того, сама проблема Ферма по своей природе не может генерировать развитие математики, поскольку она «бинарна», то есть, формулировка проблемы требует дать ответ только на вопрос «да или нет». Вместе с тем, математические работы последних лет самого В.И. Арнольда во многом оказались посвящены вариациям на очень близкую теоретико-числовую тематику. Возможно, что Уайлс парадоксальным образом стал косвенной причиной этой активности.

На мехмате МГУ, все-таки, появляются энтузиасты доказательства. Замечательный математик и ученый-популяризатор Ю.П. Соловьев (безвременно ушедший от нас) инициирует перевод книги Э.Кнэппа по эллиптическим кривым с необходимым материалом по гипотезе Таниямы–Шимуры-Вейля. Алексей Панчишкин, работащий ныне во Франции, в 2001-м году читает на мехмате лекции, положенные в основу соответствующей части его с Ю.И. Маниным великолепной, упомянутой выше книги по современной теории чисел (выходящей в русском переводе Сергея Горчинского с редактурой Алексея Паршина в 2007г.).

Несколько удивительно, что в московском математическом институте Стеклова – центре математического мира России - доказательство Уайлса не разбиралось на семинарах, а изучалось только отдельными профильными экспертами. Тем более, не разбиралось и доказательство уже полной гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля (Уайлс доказал только ее часть, достаточную для доказательства теоремы Ферма). Это доказательство было дано в 2000 году уже целым коллективом зарубежных математиков, включая Ричарда Тейлора – соавтора Уайлса по завершающему этапу доказательства теоремы Ферма.

Также не отмечалось и публичных высказываний и, тем более, дискуссий со стороны известных российских математиков по поводу доказательства Уайлса. Известна довольно резкая дискуссия между россиянином В. Арнольдом («скептиком метода доказательства») и американцем С. Ленгом («энтузиастом метода доказательства»), однако, ее следы теряются в западных изданиях. В российской же центральной математической прессе за время, прошедшее со времени публикации доказательства Уайлса, не было публикаций на тему доказательства. Пожалуй, единственной публикацией на эту тему был перевод статьи канадского математика Генри Дармона даже еще неокончательной версии доказательства в «Успехах математических наук» в 1995 году (забавно, что полное доказательство уже было опубликовано).

На этом «сонном» математическом фоне, несмотря на крайне абстрактный характер доказательства Уайлса, некоторые бесстрашные теоретические физики включили его в зону своего потенциального интереса и начали его изучение, надеясь рано или поздно найти приложения математики Уайлса. Это не может не радовать, хотя бы потому, что эта математика все эти годы находилась практически в самоизоляции.

Тем не менее, проблема адаптации доказательства, крайне отягчающая его прикладной потенциал, оставалась и остается очень актуальной. На сегодняшний день оригинальный крайне специальный текст статьи Уайлса и совместной статьи Уайлса и Тейлора уже адаптирован, правда только для достаточно узкого круга профессиональных математиков. Это сделано в упоминавшейся книге Ю. Манина и А. Панчишкина. Им удалось успешно сгладить определенную искусственность оригинального доказательства. Кроме того, американский математик Серж Ленг, яростный пропагандист доказательства Уайлса (к сожалению, ушедший от нас в сентябре 2005-го года), включил некоторые наиболее важные конструкции доказательства в третье издание своего, ставшего классическим, университетского учебника «Алгебра».

В качестве примера искусственности оригинального доказательства отметим, что одной из особенно ярких черт, создающих такое впечатление, является особая роль отдельных простых чисел, таких как 2, 3, 5, 11, 17, а также отдельных натуральных чисел, таких как 15, 30 и 60. Помимо прочего, совершенно очевидно, что доказательство не геометрично в самом обычном смысле. Оно не содержит естественных геометрических образов, к которым можно было бы привязаться для лучшего понимания текста. Сверхмощная «затерминологизированная» абстрактная алгебра и «продвинутая» теория чисел чисто психологически бьют по возможности восприятию доказательства даже квалифицированного читателя-математика.

Остается только удивляться, почему же в такой ситуации эксперты доказательства, включая самого Уайлса, его «не шлифуют», не пропагандируют и не популяризируют явный «математический хит» даже в родном математическом сообществе.

Итак, если говорить коротко, то на сегодняшний день факт доказательства Уайлса является просто фактом доказательства теоремы Ферма со статусом первого правильного доказательства и использованной в нем «некой сверхмощной математики».

«… по остроумному замечанию Ф. Клейна, многие отделы математики представляют подобие тех выставок новейших моделей оружия, которые существуют при фирмах, изготовляющих вооружение; при всем остроумии, вложенном изобретателями, часто бывает, что когда начинается настоящая война, эти новинки оказываются в силу тех или иных причин непригодными… Совершенно ту же картину представляет собой и современное преподавание математики; учащимся даются в руки весьма совершенные и мощные средства математического исследования…, но дальше учащиеся не выносят никакого представления о том, где и как эти мощные и остроумные методы могут быть приложены в решении основной задачи всей науки: в познании окружающего нас мира и в воздействии на него творческой воли человека. В свое время А.П. Чехов сказал, что если в первом действии пьесы на сцене висит ружье, то необходимо, чтобы хотя в третьем действии из него стреляли. Это замечание полностью приложимо и к преподаванию математики: если студентам излагается какая-нибудь теория, то необходимо показать рано или поздно, какие приложения можно сделать из этой теории прежде всего в области механики, физики или техники и в других областях.»

Продолжая эту аналогию можно сказать, что доказательство Уайлса представляет исключительно благоприятный материал для изучения огромного пласта современной фундаментальной математики. Здесь студентам можно показать как задача классической теории чисел тесно связана с такими разделами чистой математики как современная алгебраическая теории чисел, современная теория Галуа, p-адическая математика, арифметическая алгебраическая геометрия, коммутативная и некоммутативная алгебра.

Было бы справедливо, если бы уверенность Уайлса, что изобретенная им математика – математика нового уровня нашла свое подтверждение. И очень не хочется, чтобы эту действительно очень красивую и синтетическую математику постигла участь «невыстрелившего ружья».

И все-таки, зададимся теперь вопросом: можно ли в достаточно доступных терминах описать доказательство Уайлса для широкой интересующейся аудитории?

С точки зрения специалистов это абсолютная утопия. Но давайте, все-таки, попробуем, руководствуясь простым соображением, что теорема Ферма – это утверждение всего лишь о целых точках нашего обычного трехмерного евклидова пространства.

Будем последовательно подставлять точки с целыми координатами в уравнение Ферма.

Уайлс находит оптимальный механизм пересчета целых точек и их тестирования на удовлетворение уравнению теоремы Ферма (после введения необходимых определений такой пересчет как раз и будет соответствовать так называемому «свойству модулярности эллиптических кривых над полем рациональных чисел», описываемому гипотезой Таниямы–Шимуры-Вейля»).

Механизм пересчета оптимизируется с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея, связавшим потенциальное решение уравнения Ферма с произвольным показателем с другим, совсем непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задается специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Эта кривая Фрея задается уравнением совсем несложного вида:

Неожиданность идеи Фрея состояла в переходе от теоретико-числовой природы задачи к ее «скрытому» геометрическому аспекту. А именно: Фрей сопоставил всякому решению уравнения Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению

указанную выше кривую. Теперь оставалось показать, что таких кривых не существует при . В этом случае отсюда и следовала бы великая теорема Ферма. Именно такая стратегия и была выбрана Уайлсом в 1986-м году, когда он начал свой феерический штурм.

Изобретение Фрея к моменту «старта Уайлса» было совсем свежим (85-й год) и перекликалось также с относительно недавним подходом французского математика Хеллегуарша (70-е годы), предложившего использовать эллиптические кривые для поиска решений диофантовых уравнений, т.е. уравнений похожих на уравнение Ферма.

Попробуем теперь посмотреть на кривую Фрея с другой точки зрения, а именно, как на инструмент пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Другими словами, у нас кривая Фрея будет играть роль формулы, определяющей алгоритм такого пересчета.

В таком контексте можно сказать, что Уайлс изобретает инструменты (специальные алгебраичесие конструкции) для контроля за этим пересчетом. Собственно говоря, этот тонкий инструментарий Уайлса и составляет центрально ядро и основную сложность доказательства. Именно при изготовлении этих инструментов и возникают основные изощренные алгебраические находки Уайлса, которые так непросты для восприятия.

Но все же, самым неожиданным эффектом доказательства, пожалуй, оказывается достаточность использования только одной «фреевской» кривой, представляемой совсем несложной, почти «школьной» зависимостью . Удивительно, что использование только одной такой кривой оказывается достаточным для тестирования всех точек трехмерного евклидова пространства с целыми координатами на предмет удовлетворения их соотношению Большой теоремы Ферма с произвольным показателем степени .

Другими словами, использование всего одной кривой (правда, имеющей специфический вид), доступной для понимания и обычному старшекласснику, оказывается равносильным построению алгоритма (программы) последовательного пересчета целых точек обычного трехмерного пространства. И не просто пересчета, а пересчета с одновременным тестированием целой точки на «ее удовлетворямость» уравнению Ферма.

Именно здесь возникает фантом самого Пьера де Ферма, поскольку при таком пересчете оживает то, что обычно называется «Ferma’t descent», или редукцией (или «методом бесконечного спуска») Ферма.

В этом контексте сразу же становится ясно почему сам Ферма не мог доказать свою теорему по объективным причинам, хотя при этом вполне мог «увидеть» геометрическую идею ее доказательства.

Дело в том, что пересчет проходит по контролем математических инструментов, не имеющих аналогов не только в далеком прошлом, но и неизвестных до Уайлса даже в современной математике.

Самое главное здесь в том, что эти инструменты «минимальны», т.е. их нельзя упростить. Хотя сама по себе эта «минимальность» весьма непроста. И именно осознание Уайлсом этой нетривиальной «минимальности» и стало решающим финальным шагом доказательства. Это как раз и была та самая «вспышка» 19-го сентября 1994 года.

Некоторая проблема, вызывающая неудовлетворенность, здесь все-таки остается – у Уайлса эта минимальная конструкция не описана явно. Поэтому у интересующихся проблемой Ферма еще есть интересная работа - необходима ясная интерпретация этой «минимальности».

Возможно, что именно здесь и должна скрываться геометрия «заалгебраизированного» доказательства. Не исключено, что как раз эту геометрию и чувствовал сам Ферма, когда делал знаменитую запись на узких полях своего трактата: «я нашел поистине замечательное доказательство …».

Теперь непосредственно перейдем к виртуальному эксперименту и попробуем «покопаться» в мыслях математика-юриста Пьера де Ферма.

Геометрический образ так называемой малой теоремы Ферма можно представить в виде окружности, катящейся «без проскальзывания» по прямой и «наматывающей» на себя целые точки. Уравнение малой теоремы Ферма в этой интерпретации получает и физический смысл – смысл закона сохранения такого движения в одномерном дискретном времени.

Эти геометрические и физические образы можно попробовать перенести на ситуацию, когда размерность задачи (число переменных уравнения) увеличивается и уравнение малой теоремы Ферма переходит в уравнение большой теоремы Ферма. А именно: допустим, что геометрия большой теоремы Ферма представляется сферой, катящейся по плоскости и «наматывающей» на себя целые точки на этой плоскости. Важно, что это качение не должно быть произвольным, а «периодическим» (математики также говорят «циклотомическим»). Периодичность качения означает, что вектора линейной и угловой скорости катящейся максимально общим образом сферы через определенное фиксированное время (период) повторяются по величине и по направлению. Такая периодичность аналогична периодичности линейной скорости качения окружности по прямой, моделирующей «малое» уравнение Ферма.

Соответственно, «большое» уравнение Ферма получает смысл закона сохранения указанного выше движения сферы уже в двумерном дискретном времени. Возьмем теперь диагональ этого двумерного времени (именно в этом шаге и состоит вся сложность!). Эта чрезвычайно хитрая и оказывающаяся единственной диагональ и представляет собой уравнение большой теоремы Ферма, когда показатель уравнения равен именно двум.

Важно отметить, что в одномерной ситуации – ситуации малой теоремы Ферма - такой диагонали находить не надо, поскольку время одномерно и диагональ брать не отчего. Поэтому степень переменной в уравнении малой теоремы Ферма может быть произвольной.

Итак, довольно неожиданно, мы получаем мостик к «офизичиванию» большой теоремы Ферма, то есть, к появлению у нее физического смысла. Как тут не вспомнить, что Ферма занимался не чужд был и физики.

Кстати, опыт физики также показывает, что законы сохранения механических систем приведенного выше вида квадратичны по физическим переменным задачи. И наконец, все это вполне согласуется с квадратичной структурой законов сохранения энергии ньютоновской механики, известных из школы.

С точки зрения приведенной выше «физической» интерпретации большой теоремы Ферма свойству «минимальности» соответствует минимальность степени закона сохранения (это двойка). А редукции Ферма и Уайлса соответствует приведение законов сохранения пересчета точек к закону простейшего вида. Этот простейший (минимальный по сложности) персчет как геометрически, так и алгебраически и представляется качением именно сферы по плоскости, поскольку сфера и плоскость – «минимальные», как нам совершенно понятно, двумерные геометрические объекты.

Вся сложность, на первый взгляд отсутствующая, здесь состоит в том, что точное описание такого с виду «простого» движения сферы совсем непросто. Дело вом, что «периодическое» качение сферы «впитывает в себя» кучу так называемых «скрытых» симметрий нашего трехмерного пространства. Эти скрытые симметрии обусловлены нетривиальными сочетаниями (композициями) линейного и углового движения сферы – см. рис.1.

Именно для точного описания этих скрытых симметрий, геометрически закодированных таким хитрым качением сферы (точки с целыми координатами «сидят» в узлах нарисованной решетки), и требуются алгебраические конструкции Уайлса.

В приведенной на рис.1 геометрической интерпретации линейное движение центра сферы «считает» целые точки на плоскости, а ее угловое (или вращательное) движение обеспечивает пространственную (или вертикальную) компоненту пересчета. Вращательное движение сферы не сразу удается «разглядеть» в произвольном качении сферы по плоскости. Именно вращательное движение и соответствует упомянутым выше скрытым симметриям евклидова пространства.

Введенная выше кривая Фрея как раз и «кодирует» наиболее красивый с эстетической точки зрения пересчет целых точек в пространстве, напоминающий движение по винтовой лестнице. Действительно, если следить за кривой, которую заметает некоторая точка сферы за один период, то обнаружится, что наша отмеченная точка заметет кривую, изображенную на рис. 2, напоминающую «двойную пространственну синусоиду» - пространственный аналог графика. Эту красивую кривую можно интерпретировать как график «минимальной» по (то есть ) кривой Фрея. Это и есть график нашего тестирующего пересчета.

Подключив некоторое ассоциативное восприятие этой картины, к своему удивлению мы обнаружим, что, поверхность, ограничиваемая нашей кривой, поразительным образом похожа на поверхность молекулы ДНК - «краеугольного кирпича» биологии! Возможно, что неслучайно терминология ДНК-кодировки конструкций из доказательства Уайлса используется в книге Сингха «Великая теорема Ферма».

Еще раз подчеркнем, что решающим моментом нашей интерпретации оказывается то обстоятельство, что аналогом закона сохранения для малой теоремы Ферма (его степень может быть сколь угодно большой) оказывается уравнение Большой теоремы Ферма именно в случае . Именно этот эффект «минимальности степени закона сохранения качения сферы по плоскости» и соответствует утверждению Большой теоремы Ферма.

Вполне возможно, что сам Ферма видел или чувствовал эти геометрические и физические образы, но при этом не мог предполагать, что их так сложно описать с математической точки зрения. Тем более, он не мог предполагать, что для описания такой, хотя и нетривиальной, но все-таки достаточно прозрачной геометрии, потребуется еще триста пятьдесят лет работы математического сообщества.

Теперь перекинем мостик к современной физике. Предложенный здесь геометрический образ доказательства Уайлса очень близок к геометрии современной физики, пытающейся подобраться к загадке природы гравитации – квантовой общей теории относительности. Для подтверждения этого, с первого взгляда неожиданного, взаимодействия Большой теоремы Ферма и «Большой Физики», вообразим, что катящаяся сфера массивна и «продавливает» плоскость под собой. Интерпретация этого «продавливания» на рис. 3 поразительно напоминает хорошо известную геометрическую интерпретацию общей теории относительности Эйнштейна, описывающей как раз «геометрию гравитации».

А если учесть еще и присутствующую дискретизацию нашей картинки, воплощаемую дискретной целочисленной решеткой на плоскости, то мы и вовсе воочию наблюдаем «квантовую гравитацию»!

Вот на этой на этой мажорной «объединительной» физико-математической ноте и закончим нашу «кавалерийскую» попытку дать наглядное толкование «сверхабстрактного» доказательства Уайлса.

Теперь, пожалуй, следует подчеркнуть, что в любом случае, какое бы ни было правильное доказательство теоремы Ферма, оно обязательно должно их так или иначе использовать конструкции и логику доказательства Уайлса. Обойти все это просто невозможно по причине упомянутого «свойства минимальности» математических инструментов Уайлса, использованных для доказательства. В нашей «геометро-динамической» интерпретации этого доказательства это «свойство минимальности» обеспечивает «минимально необходимые условия» для корректного (т.е. «сходящегося») построения тестирующего алгоритма.

С одной стороны, это огромное огорчение для любителей-ферматистов (если, конечно, они про это узнают; как говорят, «меньше знаешь – лучше спишь»). С другой стороны, природная «неупрощаемость» доказательства Уайлса формально облегчает жизнь профессиональным математикам – они могут не читать периодически возникающие «элементарные» доказательства от любителей математики, ссылаясь на отсутствие соответствия с доказательством Уайлса.

Общий же вывод состоит в том, что и тем и другим надо «напрягаться» и понимать это «изуверское» доказательство, постигая по-сути «всю математику».

Что же еще важно не упустить, подводя итоги всей этой уникальной истории, свидетелями которой мы стали? Сила доказательства Уайлса в том, что оно является не просто формально-логическим рассуждением, а представляет широкий и мощный метод. Это творение представляет собой не отдельный инструмент для доказательства одного отдельно взятого результата, а прекрасный набор хорошо подобранных инструментов, позволяющий «раскалывать» самые разнообразные задачи. Принципиально важно и то, что посмотрев вниз с высоты небоскреба доказательства Уайлса, мы увидим и всю предшествующую математику. Пафос состоит в том, что это будет не «лоскутное», а панорамное видение. Все это говорит не только о научной, но и о методологической преемственности этого поистине магического доказательства. Осталось «всего-то ничего» - только его понять и научиться применять.

Интересно, чем сегодня занят наш герой-современник Уайлс? Об Эндрю никаких особых новостей нет. Он, естественно, получил различные награды и премии, включая ту самую знаменитую обесценившуюся во время первой гражданской войны премию немца Вольфскеля. За все время, прошедшее с момента триумфа доказательства проблемы Ферма до сегодняшних дней, мне удалось заметить только одну, правда как всегда большую, статью в тех же “Annals” (в соавторстве со Скиннером). Может Эндрю опять затаился в преддверии нового математического рывка, например, так называемой “abc”-гипотезы – недавно сформулированной (Массером и Остерле в 1986 году) и считающейся самой главной проблемой теории чисел на сегодняшний день (это «проблема столетия» по выражению Сержа Ленга).

Гораздо больше информации о соавторе Уайлса по завершающей части доказательства – Ричарде Тейлоре. Он был одним из четырех авторов доказательства полной гипотезы Таниямы-Шмуры-Вейля и серьезно претендовал на филдсовскую медаль на математическом конгрессе в Китае в 2002 году. Однако, не получил ее (тогда ее получили всего два математика – русский математик из Принстона Владимир Воеводский «за теорию мотивов» и француз Лоран Лафорг «за важную часть программы Ленглендса»). Тейлор опубликовал за это время немалое количество замечательных работ. И вот недавно, Ричард добился нового большого успеха - доказал очень известную гипотезу – гипотезу Тейта-Саито, также относящуюся к арифметической алгебраической геометрии и обобщающую результаты немецкого. математика 19-го века Г. Фробениуса и российского математика 20-го века Н. Чеботарева.

Давайте напоследок немного пофантазируем. Возможно, настанет время, когда курсы математики в вузах, и даже в школах, будут подстроены под методы доказательства Уайлса. Это означает, что Великая теорема Ферма станет не только модельной математической задачей, но и методологической моделью для преподавания математики. На ее примере можно будет изучать, по сути, все основные разделы математики. Более того, будущая физика, а может быть даже биология и экономика, станут опираться именно на этот математический аппарат. А вдруг?

Кажется, первые шаги в этом направлении уже сделаны. Об этом свидетельствует, например, то, что американский математик Серж Ленг включил в третье издание своего классического руководства по алгебре основные конструкции доказательства Уайлса. Еще дальше идут российские Юрий Манин и Алексей Панчишкин в упомянутом новом издании своей «Современной теории чисел», излагая детально само доказательство в контексте современной математики.

И как теперь не воскликнуть: великая теорема Ферма "умерла" – да здравствует метод Уайлса!

Эндрю Уайлс — профессор математики Принстонского университета, он доказал Великую теорему Ферма, над которой не одно поколение учёных билось сотни лет.

30 лет над одной задачей

Впервые Уайлс узнал о последней теореме Ферма, когда ему было десять лет. Он зашел по дороге из школы домой в библиотеку и увлёкся чтением книги «Последняя задача» Эрика Темпла Белла. Возможно сам того ещё не зная, но с этого момента он посвятил свою жизнь поискам доказательства, несмотря на то, что это было то, что ускользало от лучших умов на планете в течение трёх веков.

Уайлс узнал о последней теореме Ферма, когда ему было десять лет

Он нашёл его 30 лет спустя после доказательства другим учёным, Кеном Рибетом, связи теоремы японских математиков Таниямы и Симуры с Великой теоремой Ферма. В отличие от скептически настроенных коллег, Уайлс сразу понял — вот оно, и через семь лет поставил точку в доказательстве.

Сам процесс доказательства выдался очень драматичным: Уайлс завершил свой труд в 1993-м году, но прямо во время публичного выступление нашел в своих рассуждениях существенный «пробел». Два месяца ушло на поиск ошибки в вычислениях (ошибка крылась среди 130 печатных страниц решения уравнения). Далее, полтора года велась напряжённая работа над исправлением ошибки. Всё научное сообщество Земли было в недоумении. Уайлс завершил свою работу 19 сентября 1994-го года и сразу же и представил её обществу.

Пугающая слава

Больше всего Эндрю боялся славы и публичности. Он очень долгое время отказывался от выступлений по телевидению. Считается, что его смог переубедить Джон Линч. Он заверил Уайлса в том, что тот мог вдохновить новое поколение математиков и показать мощь математики общественности.

Эндрю Уайлс долгое время отказывался от выступлений по телевидению

Немногим позже, благодарное общество начало награждать Эндрю премиями. Так 27 июня 1997 года Уайлс получил премию Вольфскеля, которая приблизительно составила $50 000. Это намного меньше, чем Вольфскель намеревался оставить столетием раньше, но гиперинфляция привела к сокращению суммы.

К сожалению, математический эквивалент Нобелевской премии — премия Филдса, Уайлсу попросту не досталась из-за того, что её вручают математикам моложе сорока лет. Вместо этого он получил специальную серебряную тарелку на церемонии вручения медали Филдса в честь его важного достижения. Уайлс также выиграл престижную премию Вольфа, премию короля Файзала и многие другие международные награды.

Мнения коллег

Реакция одного из самых известных современных российских математиков академика В. И. Арнольда на доказательство «активно скептична»:

Это не настоящая математика — настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой. Более того, сама проблема Ферма по своей природе не может генерировать развитие математики, поскольку она «бинарна», то есть, формулировка проблемы требует дать ответ только на вопрос «да или нет».

Вместе с тем, математические работы последних лет самого В. И. Арнольда во многом оказались посвящены вариациям на очень близкую теоретико-числовую тематику. Возможно, что Уайлс парадоксальным образом стал косвенной причиной этой активности.

Настоящая мечта

Когда Эндрю спрашивают, как ему удалось просидеть в четырёх стенах более 7 лет, занимаясь одной задачей, Уайлс рассказывает, как мечтал во время своей работы, что настанет время, когда курсы математики в вузах, и даже в школах, будут подстроены под его метод доказательства теоремы. Ему хотелось, чтобы само доказательство Великой теоремы Ферма стало не только модельной математической задачей, но и методологической моделью для преподавания математики. Уайлс представлял, что на её примере можно будет изучать все основные разделы математики и физики.

4 дамы, без которых не было бы доказательства

Эндрю женат и имеет троих дочерей, двое из которых родились «в семилетнем процессе первого варианта доказательства».

Сам Уайлс считает, что без своей семьи у него бы ничего не вышло

В эти годы только Нада, жена Эндрю, знала о том, что он штурмует в одиночку самую неприступную и самую знаменитую вершину математики. Именно им, Наде, Клэр, Кэйт и Оливии посвящена знаменитая финальная статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» в центральном математическом журнале «Annals of Mathematics», где публикуются наиболее важные математические работы. Впрочем, сам Уайлс нисколько не отрицает, что без своей семьи у него бы ничего не вышло.

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма". Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Итак, вспомним знаменитую теорему Ферма. Большинство из нас так или иначе слышали о ней еще со школьной поры. Эта теорема связана с весьма знаменательным уравнением. Это, пожалуй, самое простое осмысленное уравнение, какое только можно написать, используя три неизвестных X,Y,Z и еще один строго положительный целочисленный параметр «n». Вот оно:

Великая теорема Ферма утверждает, что при значениях параметра «n» (степени уравнения), превышающих двойку, целочисленных решений (X,Y,Z) данного уравнения не существует (кроме, конечно, решения, когда все эти переменные равны нулю одновременно).

Идея штурма сияющей вершины достаточно проста и фундаментальна - .максимально хорошая аммуниция и тщательная разработка маршрута.

Уайлс полностью погружается в доказательство, прекращая даже участие в научных конференциях. И в результате семилетнего отшельничества от математического сообщества в Принстоне, в мае 1993 года Эндрю ставит.точку в своем тексте - дело сделано.

Приведу такой забавный пример. Пару лет назад знаменитый французский математик, филдсовский лауреат, Пьер Делинь , крупнейший специалист в алгебраической геометрии и теории чисел, на вопрос автора о смысле одного из ключевых объектов доказательства Уайлса – так называемого «кольца деформаций» - после получасового раздумья сказал, что не до конца понимает смысл этого объекта. С момента доказательства к этому моменту прошло уже десять лет.

По поводу мощной, но не нашедшей приложений математики очень ярко в свое время высказался известный российский математик середины прошлого века, бывший декан мехмата, В.В. Голубев: «… по остроумному замечанию Ф. Клейна, многие отделы математики представляют подобие тех выставок новейших моделей оружия, которые существуют при фирмах, изготовляющих вооружение; при всем остроумии, вложенном изобретателями, часто бывает, что когда начинается настоящая война, эти новинки оказываются в силу тех или иных причин непригодными… Совершенно ту же картину представляет собой и современное преподавание математики; учащимся даются в руки весьма совершенные и мощные средства математического исследования…, но дальше учащиеся не выносят никакого представления о том, где и как эти мощные и остроумные методы могут быть приложены в решении основной задачи всей науки: в познании окружающего нас мира и в воздействии на него творческой воли человека. В свое время А.П. Чехов сказал, что если в первом действии пьесы на сцене висит ружье, то необходимо, чтобы хотя в третьем действии из него стреляли. Это замечание полностью приложимо и к преподаванию математики: если студентам излагается какая-нибудь теория, то необходимо показать рано или поздно, какие приложения можно сделать из этой теории прежде всего в области механики, физики или техники и в других областях.»

Будем последовательно подставлять точки с целыми координатами в уравнение Ферма.

Механизм пересчета оптимизируется с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея, связавшим потенциальное решение уравнения Ферма с произвольным показателем «n» с другим, совсем непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задается специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Эта кривая Фрея задается уравнением совсем несложного вида:

y 2 + x (x - a n) (x+ b n) = 0

Неожиданность идеи Фрея состояла в переходе от теоретико-числовой природы задачи к ее «скрытому» геометрическому аспекту. А именно: Фрей сопоставил всякому решению (a,b,c) уравнения Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению

указанную выше кривую. Теперь оставалось показать, что таких кривых не существует при n>2. В этом случае отсюда и следовала бы великая теорема Ферма. Именно такая стратегия и была выбрана Уайлсом в 1986-м году, когда он начал свой феерический штурм.

Но все же, самым неожиданным эффектом доказательства, пожалуй, оказывается достаточность использования только одной «фреевской» кривой, представляемой совсем несложной, почти «школьной» зависимостью y=f(x). Удивительно, что использование только одной такой кривой оказывается достаточным для тестирования всех точек трехмерного евклидова пространства с целыми координатами на предмет удовлетворения их соотношению Большой теоремы Ферма с произвольным показателем степени «n».

Соответственно, «большое» уравнение Ферма получает смысл закона сохранения указанного выше движения сферы уже в двумерном дискретном времени. Возьмем теперь диагональ этого двумерного времени (именно в этом шаге и состоит вся сложность!). Эта чрезвычайно хитрая и оказывающаяся единственной диагональ и представляет собой уравнение большой теоремы Ферма, когда показатель «n» уравнения равен именно двум.

С точки зрения приведенной выше «физической» интерпретации большой теоремы Ферма свойству «минимальности» соответствует минимальность степени закона сохранения (это двойка). А редукции Ферма и Уайлса соответствует приведение законов сохранения пересчета точек к закону простейшего вида. Этот простейший (минимальный по сложности) персчет как геометрически, так и алгебраически и представляется качением именно сферы по плоскости, поскольку сфера и плоскость – «минимальные» , как нам совершенно понятно, двумерные геометрические объекты.

Введенная выше кривая Фрея как раз и «кодирует» наиболее красивый с эстетической точки зрения пересчет целых точек в пространстве, напоминающий движение по винтовой лестнице. Действительно, если следить за кривой, которую заметает некоторая точка сферы за один период, то обнаружится, что наша отмеченная точка заметет кривую, изображенную на рис. 2, напоминающую «двойную пространственну синусоиду» - пространственный аналог графика. Эту красивую кривую можно интерпретировать как график «минимальной» по “n” (то есть n=2) кривой Фрея. Это и есть график нашего тестирующего пересчета.

Еще раз подчеркнем, что решающим моментом нашей интерпретации оказывается то обстоятельство, что аналогом закона сохранения для малой теоремы Ферма (его степень может быть сколь угодно большой) оказывается уравнение Большой теоремы Ферма именно в случае n=2. Именно этот эффект «минимальности степени закона сохранения качения сферы по плоскости» и соответствует утверждению Большой теоремы Ферма.

Теперь перекинем мостик к современной физике. Предложенный здесь геометрический образ доказательства Уайлса очень близок к геометрии современной физики, пытающейся подобраться к загадке природы гравитации – квантовой общей теории относительности. Для подтверждения этого, с первого взгляда неожиданного, взаимодействия Большой теоремы Ферма и «Большой Физики», вообразим, что катящаяся сфера массивна и «продавливает» плоскость под собой. Интерпретация этого « продавливания» на рис. 3 поразительно напоминает хорошо известную геометрическую интерпретацию общей теории относительности Эйнштейна, описывающей как раз «геометрию гравитации».